Question

Cho \(x\le1\); \(x+y\ge3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B=3x^2+y^2+3xy\)

Answer 1

Đặt x = 1 -a và x + y = 3 + b, từ giả thiết ta suy ra a, b \(\ge0\).

Ta có: y = 2 + a + b. Từ đó:

\(B=3x^2+y^2+3xy\)

\(B=3\left(1-a\right)^2+\left(2+a+b\right)^2+3\left(1-a\right)\left(2+a+b\right)\)

\(B=a^2+b^2-5a+7b-ab+13\)

\(B=\left(a-\dfrac{b}{2}-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}b^2+\dfrac{9}{2}b+\dfrac{27}{4}\ge\dfrac{27}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{5}{2}\\b=0\end{matrix}\right.\), tức là \(x=\dfrac{-3}{2}\) và \(y=\dfrac{9}{2}\)

Vậy B đạt GTNN bằng \(\dfrac{27}{2}\) khi \(x=-\dfrac{3}{2}\) và \(y=\dfrac{9}{2}\).