Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Raz0102

Cho \(x^6+y^6+z^6=3\) và \(x;y;z>0\) 

Chứng minh rằng:

\(\dfrac{x^3}{yz}+\dfrac{y^3}{zx}+\dfrac{z^3}{xy}\ge x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3\)

Yeutoanhoc
28 tháng 2 2021 lúc 20:03

Áp dụng BĐT cosi ta có:

`x^6+y^6+z^6>=3root{3}{x^6y^6z^6}=3x^2y^2z^2`

`=>3x^2y^2z^2<=3`

`=>x^2y^2z^2<=1`

`=>xyz<=1`

`=>(x^3)/(yz)+(y^3)/(zx)+(z^3)/(xy)`

`=(x^4)/(xyz)+(y^4)/(xyz)+(z^4)/(xyz)>=x^4+y^4+z^4(@)`

Áp dụng BĐT bunhia với 2 cặp số `(x^2,y^2,z^2),(x,y,z)`

`=>(x^2+y^2+z^2)(x^4+y^4+z^4)>=(x^3+y^3+z^3)^3`

Mà `(x^3+y^3+z^3)^2>=3(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)`

`=>(x^2+y^2+z^2)(x^4+y^4+z^4)>=3(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)(@@)`

Áp dụng BĐT cosi ta có:

`x^6+1+1>=3root{3}{x^6}=3x^2`

`y^6+1+1>=3y^2`

`z^6+1+1>=3z^2`

`=>x^6+y^6+z^6+6>=3(x^2+y^2+z^2)`

`=>9>=3(x^2+y^2+z^2)`

`=>x^2+y^2+z^2<=3`

Kết hợp với `(@@)`

`=>(x^2+y^2+z^2)(x^4+y^4+z^4)>=(x^2+y^2+z^2)(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)`

`=>x^4+y^4+z^4>=x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3`

Kếp hợp với `(@)`

`=>(x^3)/(yz)+(y^3)/(zx)+(z^3)/(xy)>=x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3`

Dấu = xảy ra khi `x=y=z=1`

Bình luận (1)

Các câu hỏi tương tự
Tuệ Lâm
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
phạm kim liên
Xem chi tiết
Nguyễn Thùy Chi
Xem chi tiết
Karry Angel
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
Ex Crush
Xem chi tiết
Ha Hoang Vu Nhat
Xem chi tiết
Baekhyun
Xem chi tiết