Question

Cho \(x+2y=1\). Tìm GTNN của \(x^2+2y^2\)

Answer 1

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cop-ski ta có:

\(S=\left(x+2y\right)^2=\left(x+\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}y\right)^2\le\left(1+\sqrt{2}^2\right)\left[x^2+\left(\sqrt{2}y\right)^2\right]\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y\right)^2\le3\left(x^2+2y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+2y^2\ge\frac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\frac{1}{3}\)

Vậy \(S_{min}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{3}\)

Answer 2

Cách nữa nè:

Với mọi số thực k không âm,ta luôn có: \(k\left(x-\frac{1}{3}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow k\left(x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}\right)\ge0\Leftrightarrow kx^2\ge\frac{2}{3}x.k-\frac{1}{9}k\)

Chọn k = 1 ta tìm được: \(x^2\ge\frac{2}{3}x-\frac{1}{9}\).Tương tự với y nhưng chọn k = 2 ta tìm được:\(2y^2\ge\frac{4}{3}y-\frac{2}{9}\)

Cộng theo vế hai BĐT trên,ta được: \(x^2+2y^2\ge\frac{2}{3}\left(x+2y\right)-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{3}\).

Vậy...

Answer 3

Bài này đơn giản là do mình đã biết trước điểm rơi cho nên việc thiết lập BĐT phụ rất dễ dàng!