Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
\(\left (\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)(x+x+x+y+y+z)\geq (1+1+1+1+1+1)^2\)
\(\Leftrightarrow \frac{3}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{36}{3x+2y+z}\)
Thực hiện tương tự:
\(\frac{3}{y}+\frac{2}{z}+\frac{1}{x}\geq \frac{36}{3y+2z+x}\)
\(\frac{3}{z}+\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{36}{3z+2x+y}\)
Cộng theo vế các BĐT vừa có thu được:
\(6\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\geq 36\left(\frac{1}{3x+2y+z}+\frac{1}{3y+2z+x}+\frac{1}{3z+2x+y}\right)\)
\(\Leftrightarrow 72\geq 36\left(\frac{1}{3x+2y+z}+\frac{1}{3y+2z+x}+\frac{1}{3z+2x+y}\right)\)
\(\Leftrightarrow P\leq 2\)
Vậy \(P_{\max}=2\). Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{4}\)
