Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số logarit

Inequalities

Cho x, y là các số thực thỏa mãn ( x2 + y2 + 1 )2 + 3x2y2 + 1 = 4x2 + 5y2

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{x^2+2y^2-3x^2y^2}{x^2+y^2+1}\)

Nguyễn Việt Lâm
26 tháng 11 2020 lúc 12:41

\(\left(x^2+y^2+1\right)^2+1\le\left(x^2+y^2+1\right)^2+3x^2y^2+1\le4x^2+5y^2\le5x^2+5y^2\)

\(\Rightarrow\left(x^2+y^2+1\right)^2-5\left(x^2+y^2+1\right)+6\le0\)

\(\Leftrightarrow2\le x^2+y^2+1\le3\)

\(P=\frac{x^2+2y^2-3x^2y^2}{x^2+y^2+1}+3-3=\frac{\left(x^2+y^2+1\right)^2+4}{x^2+y^2+1}-3\)

Đặt \(x^2+y^2+1=t\Rightarrow t\in\left[2;3\right]\)

\(\Rightarrow P=\frac{t^2+4}{t}-3=t+\frac{4}{t}-3\ge2\sqrt{\frac{4t}{t}}-3=1\)

\(P_{min}=1\) khi \(\left(x^2;y^2\right)=\left(0;1\right)\)

\(P=\frac{t^2+4}{t}-\frac{13}{3}+\frac{4}{3}=\frac{3t^2-13t+12}{3t}+\frac{4}{3}=\frac{\left(t-3\right)\left(3t-4\right)}{3t}+\frac{4}{3}\le\frac{4}{3}\)

\(P_{max}=\frac{4}{3}\) khi \(\left(x^2;y^2\right)=\left(0;2\right)\)

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
trần nam
Xem chi tiết
Thành Công
Xem chi tiết
Minh Anh
Xem chi tiết
Thị Thanh Thảo Tô
Xem chi tiết
Minh Nguyệt
Xem chi tiết
Phạm Trần Phát
Xem chi tiết
Sang Kim
Xem chi tiết
Đoàn Thái Sơn
Xem chi tiết
Phạm Trần Phát
Xem chi tiết
Nguyễn Kiều Hạnh
Xem chi tiết