Question

Cho x, y dương.

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

\(S=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{xy}\)

Answer 1

\(S=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{xy}\)

\(=\dfrac{x^2+y^2+2xy}{x^2+y^2}+\dfrac{2xy+x^2+y^2}{xy}\)

\(=1+\dfrac{2xy}{x^2+y^2}+2+\dfrac{x^2+y^2}{xy}\)

\(=3+\left(\dfrac{2xy}{x^2+y^2}+\dfrac{x^2+y^2}{2xy}\right)+\dfrac{x^2+y^2}{2xy}\)

Theo BĐT cô - si ta có :

\(\dfrac{2xy}{x^2+y^2}+\dfrac{x^2+y^2}{2xy}\ge2\sqrt{\dfrac{2xy\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)2xy}}=2\)

\(x^2+y^2\ge2xy\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{x^2+y^2}{2xy}\ge\dfrac{2xy}{2xy}=1\)

Do đó \(S\ge3+2+1=6\)

Vậy GTNN của \(S=6\) . Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b\)