Question

Cho x = \(\frac{a+b}{a-b};y=\frac{b+c}{b-c};z=\frac{c+a}{c-a}\) . CMR ; \(xy+yz+xz=-1\)

Answer 1

Lời giải:

Từ đề bài suy ra:

\(xy=\frac{(a+b)(b+c)}{(a-b)(b-c)}=\frac{(a+b)(b+c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{(ab+bc+ac+b^2)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)

\(yz=\frac{(b+c)(c+a)(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{(ab+bc+ac+c^2)(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)

\(xz=\frac{(a+b)(c+a)(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{(a^2+ab+bc+ac)(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)

Cộng theo vế:
\(xy+yz+xz=\frac{(ab+bc+ac)[(c-a)+(a-b)+(b-c)]+b^2(c-a)+c^2(a-b)+a^2(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)

\(=\frac{b^2(c-a)+c^2(a-b)+a^2(b-c)}{-a^2b-b^2c-c^2a+ab^2+bc^2+ca^2}=\frac{a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2}{-(a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2)}=-1\) (đpcm)