\(P=x^3\left(z-y^2\right)+y^3\left(x-z^2\right)+z^3\left(y-x^2\right)+xyz\left(xyz-1\right)\)
\(P=\left(-x^3\left(y^2-z\right)\right)+xy^3-y^3z^2+yz^3-x^2z^3+x^2y^2z^2-xyz\)
\(P=\left(-x^3\left(y^2-z\right)\right)+\left(xy^3-xyz\right)-\left(y^3z^2-yz^3\right)+\left(x^2y^2z^2-x^2z^3\right)\)
\(P=\left(-x^3\left(y^2-z\right)\right)+\left(xy\left(y^2-z\right)\right)-\left(yz^2\left(y^2-z\right)\right)+\left(x^2z^2\left(y^2-z\right)\right)\)
\(P=\left(-x^3+xy-yz^2+x^2z^2\right)\left(y^2-z\right)\)
\(P=\left(\left(x^2z^2-x^3\right)-\left(yz^2-xy\right)\right)\left(y^2-z\right)\)
\(P=\left(x^2\left(z^2-x\right)-y\left(z^2-x\right)\right)\left(y^2-z\right)\)
\(P=\left(\left(x^2-y\right)\left(z^2-x\right)\right)\left(y^2-z\right)\)
\(P=\left(a.c\right).b\)
\(P=a.b.c\)
Vậy giá trị của P không phụ thuộc vào biến x;y;z (điều cần chứng minh)
P = x³(z - y²) + y³(x - z²) + z³(y - x²) + xyz(xyz - 1) = - az³ - bx³ - cy³ + x²y²z² - xyz (*)
Từ các đẳng thức :
a = x² - y (1); b = y² - z (2) ; c = z² - x (3)
Lấy (1)x(2)x(3) có :
abc = (x² - y)(y² - z)(z² - x) = x²y²z² - ay²z² + abz² - bz²x² + bcx² - cx²y² + cay² - xyz = x²y²z² - az²(y² - b) - bx²(z² - c) - cy²(x² - a) - xyz = - az³ - bx³ - cy³ + x²y²z² - xyz (**)
Từ (*) và (**) => P = abc (đpcm)
hahahahah
dung sai la hay
