Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi I là trung điểm của AB, M thuộc đường chéo AC sao cho 2 đường thẳng IM và BC cắt nhau tại E \(\left(C\in BE\right)\).Vẽ đường thẳng qua M song song với AB cắt BC tại P, đường thẳng qua M song song với CD cắt AD tại Q.
a) CMR: \(\frac{1}{MP^2+MQ^2}\le\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{CD^2}\)
b) Lấy \(F\in BD\) thỏa mãn \(\frac{BF}{FD}=\frac{AM}{MC}\).
CMR: EF luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên AC.
a) Áp dụng hệ quả định lý thales:
\(\frac{MQ}{CD}+\frac{MP}{AB}=\frac{AM}{AC}+\frac{MC}{AC}=\frac{AC}{AC}=1\)
Áp dụng BĐT bunyakovsky:
\(\left(\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{CD^2}\right)\left(MP^2+MQ^2\right)\ge\left(\frac{MP}{AB}+\frac{MQ}{CD}\right)^2=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{CD^2}\ge\frac{1}{MP^2+MQ^2}\)
dấu = xảy ra khi \(\frac{MC}{AM}=\frac{CD^2}{AB^2}\)
b) chưa nghĩ :v
