Question

Cho tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD Gọi E, F, G, H, lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh E,F,GH cùng thuộc một đường tròn

(sử dụng khoảng cách bằng nhau)

Answer 1

Xét ΔBAC có

E,F lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>EF là đường trung bình của ΔBAC
=>EF//AC và \(EF=\dfrac{AC}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔDAC có

H,G lần lượt là trung điểm của DA,DC

=>HG là đường trung bình của ΔDAC

=>HG//AC và HG=AC/2(2)

Từ (1),(2) suy ra EF//HG và EF=HG

Xét ΔABD có

E,H lần lượt là trung điểm của AB,AD

=>EH là đường trung bình của ΔABD

=>EH//BD

mà BD\(\perp\)AC

nên EH\(\perp\)AC

mà EF//AC
nên EH\(\perp\)EF

Xét tứ giác EHGF có

EF//GH

EF=GH

Do đó: EHGF là hình bình hành

Hình bình hành EHGF có \(\widehat{FEH}=90^0\)

nên EHGF là hình chữ nhật

Gọi O là giao điểm của EG và HF

Ta có: EHGF là hình chữ nhật

=>EG cắt HF tại trung điểm của mỗi đường và EG=HF

=>O là trung điểm chung của EG và HF

Ta có: \(OE=OG=\dfrac{EG}{2}\)

\(OH=OF=\dfrac{HF}{2}\)

mà EG=HF

nên OE=OG=OH=OF

=>E,G,H,F cùng thuộc (O)