Question

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, M là trung điểm BC, N là trung điểm của AC. Khi đó:

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) MN song song AB

b) MD = ND =\(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

c) (AB, DM) = (MN, DM)

d) cos(AB,DM) = \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Answer 1

a: Xét ΔCAB có

M,N lần lượt là trung điểm của CB,CA
=>MN là đường trung bình của ΔCAB

=>MN//AB và \(MN=\dfrac{AB}{2}\)

b: ΔDAC đều

mà DN là đường trung tuyến

nên \(DN=AD\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

=>Sai

c: Vì MN//AB

nên \(\widehat{\left(AB;DM\right)}=\widehat{MN;DM}=\widehat{NMD}\)

=>Đúng

d: ΔDCB đều

mà DM là đường trung tuyến

nên \(DM=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Xét ΔNMD có \(cosNMD=\dfrac{MN^2+MD^2-ND^2}{2\cdot MN\cdot MD}=\dfrac{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2}{2\cdot\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}\)

\(=\dfrac{a^2}{4}:\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a^2}{4}\cdot\dfrac{2}{a^2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)

=>Sai