Cho $\triangle$ `ABC` vuông tại `A`. Trên cạnh `AC` lấy điểm `M`, dựng đường tròn (O) có đường kính MC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại `D`. Đường thẳng `AD` cắt đường tròn (O) tại `S`. `a)` Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp `b)` Chứng minh `CA` là tia phân giác của $\widehat{SCB}$ `c)` Gọi `E` là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng : Các đường thẳng `BA`, `EM`, `CD` đồng quy `d)` Chứng minh `DM` là tia phân giác của $\widehat{ADE}$ `e)` Chứng minh `M` là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle$ `ADE`
a: Xét (O) có
ΔCDM nội tiếp
CM là đường kính
Do đó: ΔCDM vuông tại D
=>CD⊥MB tại D
Xét tứ giác ABCD có \(\hat{CAB}=\hat{CDB}=90^0\)
nên ABCD là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
\(\hat{MCS};\hat{MDS}\) là các góc nội tiếp chắn cung MS
=>\(\hat{MCS}=\hat{MDS}\)
=>\(\hat{ADB}=\hat{SCA}\)
mà \(\hat{ADB}=\hat{ACB}\) (ABCD nội tiếp)
nên \(\hat{SCA}=\hat{ACB}\)
=>CA là phân giác của góc SCB
c: Gọi K là giao điểm của CD và AB
Xét (O) có
ΔCEM nội tiếp
CM là đường kính
Do đó: ΔCEM vuông tại E
=>ME⊥BC tại E
Xét ΔCKB có
CA,BD là các đường cao
CA cắt BD tại M
Do đó: M là trực tâm của ΔCKB
=>KM⊥CB
mà ME⊥BC
và KM,ME có điểm chung là M
nên K,M,E thẳng hàng
=>ME,CD,AB đồng quy tại K
d: Xét tứ giác KDMA có \(\hat{KDM}+\hat{KAM}=90^0+90^0=180^0\)
nên KDMA là tứ giác nội tiếp
Xét (O) có C,D,M,E cùng thuộc (O)
nên CDME nội tiếp
Ta có: \(\hat{EDM}=\hat{ECM}\) (CDME nội tiếp)
\(\hat{ADM}=\hat{AKM}\) (AMDK nội tiếp)
mà \(\hat{ECM}=\hat{MKA}\left(=90^0-\hat{ABC}\right)\)
nên \(\hat{EDM}=\hat{ADM}\)
=>DM là phân giác của góc ADE
e: Xét tứ giác BAME có \(\hat{BAM}+\hat{BEM}=90^0+90^0=180^0\)
nên BAME là tứ giác nội tiếp
Ta có: \(\hat{DAM}=\hat{DKM}\) (KDMA nội tiếp)
\(\hat{EAM}=\hat{EBM}\) (BAME nội tiếp)
mà \(\hat{DKM}=\hat{EBM}\left(=90^0-\hat{KCB}\right)\)
nên \(\hat{DAM}=\hat{EAM}\)
=>AM là phân giác của góc DAE
Xét ΔDAE có
AM,DM là các đường phân giác
AM cắt DM tại M
Do đó: M là tâm đường tròn nội tiếp ΔDAE
`a)` Ta có: `\hat{BDC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) `=>\hat{BAC}=\hat{BDC}=90°` `=>2` đỉnh `A;D` cùng nhìn cạnh `BC` dưới góc vuông `=>ABCD` nội tiếp $\\$ `b)` Vì `ABCD` nội tiếp (câu a) `=>\hat{BCA}=\hat{BDA}` (cùng chắn cung $AB)$ Mà `D MCS` nội tiếp `(O)` `=>\hat{BDA}=\hat{MCS}` (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện) `=>\hat{BCA}=\hat{MCS}` `=>CA` là phân giác của `\hat{SCB}` $\\$ `c)` Gọi `F` là giao điểm của `BA` và `EM` Ta có: `\hat{MEC}=\hat{MDC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) `=>FE`$\perp BC$ và $BD\perp DC$ $(1)$ Xét `\Delta BFC` có: $CA\perp BF$ $FE\perp BC$ $M$ là giao điểm của $CA$ và $FE$ `=>M` là trực tâm `\Delta BFC` `=>BM`$\perp FC$ `=>BD`$\perp FC$ $(2)$ Từ `(1)(2)=>F;D;C` thẳng hàng `=>F\in CD` `=>BA;EM;CD` đồng quy tại $F$ $\\$ `d)` Xét tứ giác $AMDF$ có: `\hat{FAM}+\hat{FDM}=90°+90°=180°` `=>AMDF` nội tiếp (tổng 2 góc đối $180°)$ `=>\hat{AFM}=\hat{ADM}` $(3)$ (cùng chắn cung $AM)$ Ta có: `MECD` nội tiếp `(O)` `=>\hat{MDE}=\hat{MCE}` $(4)$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $ME)$ `\hat{BFE}=\hat{BCA}` (cùng phụ `\hat{ABC})` `=>\hat{AFM}=\hat{MCE}` $(5)$ Từ `(3);(4);(5)=>\hat{ADM}=\hat{MDE}` `=>DM` là phân giác của `\hat{ADE}` $\\$ `e)` Xét tứ giác $ABEM$ có: `\hat{BAM}+\hat{BEM}=90°+90°=180°` `=>ABEM` nội tiếp (tổng 2 góc đối $180°)$ `=>\hat{ABM}=\hat{AEM}` $(6)$ (cùng chắn cung $AM)$ $\\$ Ta có: `MECD` nội tiếp `(O)` `=>\hat{MED}=\hat{MCD}` $(7)$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $MD)$ `\hat{ACF}=\hat{FBD}` (cùng phụ `\hat{AFC})` `=>\hat{MCD}=\hat{ABM}` $(8)$ Từ `(6);(7);(8)=>\hat{AEM}=\hat{MED}` `=>EM` là phân giác của `\hat{AED}` Ta lại có: `DM` là phân giác của `\hat{ADE}` (câu d) `M` là giao điểm của `EM` và $DM$ `=>M` là giao điểm hai đường phân giác của `\Delta ADE` `=>M` là tâm đường tròn nội tiếp `\Delta ADE`
