Question

Cho \(\triangle ABC\) vuông tại A, đường cao AH. Gọi M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AH. Trên tia đối của tia IB lấy điểm E sao cho ME = MB, trên tia đối của tia IC lấy F sao cho MF = MC. Gọi K là giao điểm của BF và CE.

Chứng minh: \(EF=\dfrac{3}{2}AH.\sin\widehat{BKC}\)

Answer 1

Em tự vẽ hình nhé.

Dễ thấy E,F thuộc đường tròn đường kính BC, nên \(CF\perp BK\) và \(BE\perp CK\)

=>BE,CF là 2 đường cao của tam giác BKC.

Mặt khác I là giao của BE,CF nên I là trực tâm tam giác BKC.

Mà AH vuông góc BC, nên K,H,A thẳng hàng.

Ta có: \(HB.HC=HI.HK\left(\Delta BHI\sim\Delta KHC\right)\) và \(HA^2=HB.HC\)

\(\Rightarrow HA^2=HI.HK=\dfrac{HA}{2}.HK\Rightarrow HA=\dfrac{HK}{2}\), nên A là trung điểm KH.

Ta có: \(KI=AK+AI=AH+\dfrac{AH}{2}=\dfrac{3}{2}AH\).

Ta có bổ đề quen thuộc: \(\dfrac{KI}{BC}=\cot\widehat{BKC}\) (chứng minh bằng cách gọi O là tâm của (BKC), dựng đường kính KT, khi đó ta có \(KI=2OM\)), và \(\dfrac{EF}{BC}=\cos\widehat{BKC}\)

\(\Rightarrow EF=\cos\widehat{BKC}.BC=\sin\widehat{BKC}.KI=\dfrac{3}{2}AH.\sin\widehat{BKC}\left(đpcm\right)\)