Question

cho tgiác ABC vuông tại A có góc C bằng 60 độ . Tia phân giác góc C cắt AB tại E. Kẻ EK vuông góc với BC tại k

a)Chứng minh rằng △ACE bằng △KCE và AK ⊥ CE

b)Chứng minh rằng BC bằng 2AC và EB lớn hơn AC

c)Kẻ BD vuông góc với CE tại D.Chứng minh 3 đường thẳng AC,EK,BD đồng quy

Answer 1

a)Xét △vuông ACE và △vuông KCE có:CE chung

                                                                ACE^ = KCE^(CE là p/g góc C^)

⇒△vuông ACE = △vuông KCE(CH-GN)

⇒AE = EK;CA = CK

⇒E ∈ đường trung trực AK;C ∈ đường trung trực AK

(Điểm cách đều 2 đầu mút thì thuộc đường trung trực của đoạn thẳng)

⇒CE là đường trung trực của AK

⇒AK ⊥ CE

b)Gọi M là trung điểm của BC

⇒MB = MC = \(\dfrac{1}{2}\)BC

Ta có:AM là đường trung trực BC

⇒AM = \(\dfrac{1}{2}\)BC (Trung tuyến cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền)

⇒AM = MC

⇒△AMC cân

mà ACM^ = 60°

⇒△AMC đều

⇒AC = CM = \(\dfrac{1}{2}\)BC

⇒2AC = BC

Ta có:ACE^ = BCE^ = \(\dfrac{1}{2}\)ACB^ =\(\dfrac{60\text{°}}{2}\)=30°

△CEB có:BCE^ = EBC^ = 30°

⇒△CEB cân

⇒ECB^ = EBC^ = 30°

⇒EB = EC

Ta có EC > AC (Do EC là cạnh huyền của △EAC)

⇒EB>AC

c)Gọi N là giao điểm của AC,EK

⇒NK ⊥ BC

△CNB có: NK ⊥ BC

                  BA ⊥ CN

                  CD ⊥ BN

⇒NK,AB,CD đồng quy 

mà E nằm trên NK

⇒AC,EK,CD đồng quy(đpcm)