Cho tam giác nhọn ABC(AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) có trực tâmH. Gọi O′′ là điểm đối xứng với O qua BC. Đường thẳng đi qua H vuông góc với HO′ cắt AB,AC lần lượt tại M,N
a) Chứng minh O′ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Chứng minh ba điểm A,H,I thẳng hàng.
c) GọiP là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH và đường tròn (O). Đường thẳng OP cắt đường thẳng BC tại Q. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường tròn (O) tại giao điểm thứ hai là R. Chứng minh đường thẳng QR song song với đường thẳng OI
a)
Vì $O'$ là điểm đối xứng của $O$ qua $BC$ nên:
$BC$ là trung trực của $OO'$ ⇒ $OB = O'B,\ OC = O'C$
Mặt khác, trong tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$ thì:
$\widehat{BHC} = 180^\circ - \widehat{BAC}$
Mà $O'$ là ảnh của $O$ qua $BC$ nên $O'$ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC$
(do $O'B = O'C = O'H$)
b)
Ta có $HM \perp HO'$ và $HN \perp HO'$
$\Rightarrow M, N$ nằm trên đường thẳng qua $H$ vuông góc $HO'$
⇒ $\widehat{AMH} = \widehat{ANH} = 90^\circ$
⇒ $A, M, H, N$ cùng thuộc một đường tròn
Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle AMN$
Do tính chất đường tròn: tâm nằm trên đường trung trực ⇒ $I$ nằm trên đường thẳng qua $H$
=> $A, H, I$ thẳng hàng
c)
Gọi $P$ là giao điểm thứ hai của $AH$ với $(O)$
Ta có: $\widehat{BPC} = 180^\circ - \widehat{BAC} = \widehat{BHC}$
⇒ $B, H, C, P$ cùng thuộc một đường tròn
Gọi $Q = OP \cap BC$
Xét đường tròn $(O)$ và đường tròn ngoại tiếp $\triangle AMN$ cắt nhau tại $A$ và $R$
Theo định lý trục đẳng phương:
$QR$ là trục đẳng phương của hai đường tròn
Mà $OI$ nối tâm hai đường tròn
⇒ $QR // OI$
