a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
\(\widehat{EAB}\) chung
Do đó: ΔAEB~ΔAFC
=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)
=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
Xét ΔAEF và ΔABC có
\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
\(\widehat{EAF}\) chung
Do đó: ΔAEF~ΔABC
b: ΔFBC vuông tại F
mà FI là đường trung tuyến
nên \(FI=\dfrac{BC}{2}\left(1\right)\)
ΔEBC vuông tại E
mà EI là đường trung tuyến
nên \(EI=\dfrac{BC}{2}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra IE=IF
=>ΔIEF cân tại I
ΔIEF cân tại I
mà IK là đường trung tuyến
nên IK\(\perp\)EF
c: ΔAEF~ΔABC
=>\(\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{EF}{BC}\right)^2\)
=>\(\dfrac{EF}{BC}=\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{1}{3}\)
=>\(EF=\dfrac{12}{3}=4\left(cm\right)\)
\(IE=IF=\dfrac{BC}{2}=6\left(cm\right)\)
Nửa chu vi tam giác IEF là:
(4+6+6)/2=16/2=8(cm)
Diện tích tam giác IEF là:
\(S_{IEF}=\sqrt{8\left(8-6\right)\left(8-6\right)\left(8-4\right)}=\sqrt{8\cdot2\cdot2\cdot4}=\sqrt{32\cdot4}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}\left(cm^2\right)\)
