Question

Cho tam giác EPQ cân tại E, trung tuyến EI, đường cao QM. Trên tia EQ lấy điểm N sao cho QN = PM. C/m: 3 đường EI, QM, PN cùng đi qua 1 điểm.
Giúp mình với ạ, mình cảm ơn!!

 

Answer 1

Xét ΔMPQ và ΔNQP có

MP=NQ

\(\widehat{MPQ}=\widehat{NQP}\)

QP chung

Do đó: ΔMPQ=ΔNQP

=>\(\widehat{PMQ}=\widehat{QNP}\)

=>\(\widehat{QNP}=90^0\)

=>PN\(\perp\)EQ

Ta có: ΔEPQ cân tại E

mà EI là đường trung tuyến

nên EI\(\perp\)PQ

Xét ΔEPQ có

QM,PN,EI là các đường cao

Do đó: QM,PN,EI đồng quy

Answer 2

Có  `ΔEPQ` cân tại `E`

MÀ `EI` là đường trung tuyến ứng với cạnh `PQ`

`=> EI ` đồng thời là đường cao của `ΔEPQ`

`=> MQ , EI` cùng cắt nhau tại `O`

`=> O` là trực tâm

Vì `ΔEPQ` cân tại `E`

`=> EP = EQ`

Mà  `MP = NQ`(gt)

`=> ME = NE`

Xét `ΔMEQ` và `ΔNEP` có :

`ME = NE`

\(\widehat{MEN}\) chung

`EQ = PE`

`=> ΔMEQ= ΔNEP(c-g-c)`

`=>`\(\widehat{EMQ}=\widehat{ENP}\)

Mà \(\widehat{EMQ}=90^0\)

`=> `\(\widehat{PNE}=90^0\)

`=>PN` là đường cao của `ΔEPQ`

Lại có : `O` là trực tâm

`=> PN` phải đi qua O`

`=> EI , QM , PN` cùng đi qua `O`