Question

Cho tam giác đều ABC có trọng tâm O và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D,E,F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng:          ++ = 

Answer 1

Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác

A₁B₁ // AB;  A₂C₂ // AC;   B₂C₁ // BC.

Dễ thấy các tam giác MB₁C₂; MA₁C₁;MA₂B₂ đều là các tam giác đều. Ta lại có MD B₁C₂ nên MD cũng là trung điểm thuộc cạnh B₁C₂ của tam giác MB₁C₂

Ta có 2 = + 

Tương tự: 2 = + 

               2 = +

=> 2( ++) = (+) + ( + ) + (+)

Tứ giác là hình bình hành nên

           +  = 

Tương tự: + = 

                 + = 

=> 2( ++) = ++

vì O là trọng tâm bất kì của tam giác và M là một điểm bất kì nên

 ++ = 3.

Cuối cùng ta có: 

2( ++) = 3;

=>  ++ =