Question

Cho tam giác cân ABC có C = 100 độ.Phân giác trong của CAB cắt CB tại D.Chứng minh AD+DC=AB

Answer 1

Tham khảo:

Vì tam giác ABC cân (gt).

Mà góc ACB= 100 độ (gt).

=> Tam giác ABC cân tại C.

=> góc A = góc B (tính chất tam giác cân).
=> góc A= góc B = (180 độ - góc ACB) /2.

=> góc A = góc B = (180 độ - 100 độ) / 2 = 80 độ / 2 = 40 độ.
Vì AD là tia phân giác góc CAB

=> góc CAD= góc DAB = CAB / 2 = 40 độ / 2= 20 độ
=> góc CDA= 180 độ - (góc ACD + góc CAD)= 60 độ
Lấy điểm E thuộc AB sao cho AD=AE
=> tam giác DAE cân tại A.
=> góc ADE= góc AED (tính chất tam giác cân).

=> góc ADE = góc AED = (180 độ - góc DAE)/2 = (180 độ - 20 độ) / 2 = 80 độ
Có góc AED= góc EDB+ góc EBD (góc ngoài tại đỉnh E của tam giác EDB)
=> góc EDB= góc AED- góc DBE= 80 độ - 40 độ = 40 độ
=> góc EDB= góc EBD
=> tam giác DEB cân tại E
=> DE=EB (tính chất tam giác cân). (*)
Lấy điểm G thuộc AB sao cho AC =AG
tam giác ACD = tam giác AGD (c-g-c)
=> CD=DG (**)
và góc ADG= góc ADC= 60 độ
=> góc DGE= góc ADG+ góc DAG = 60 độ + 20 độ =80 độ (góc ngoài tại đỉnh G của tam giác ADG)
=> góc DGE= góc DEG
=> tam giác DEG cân tại D
=> DG=DE (tính chất tam giác cân). (***)
Từ (*), (**) và (***) => CD=EB.
=> AD + CD = AE + EB = AB

=> AD + CD = AB (đpcm).

Chúc bạn học tốt!

Answer 2

Vì tam giác ABC cân mà lại có góc ACB= 100 độ nên tam giác này phải cân tại C ( vì nếu cân tại A hoặc B thì tổng 3 góc trong tam giác lớn hơn 180 độ, điều này vô lý)
=> góc A= góc B= (180 độ - góc ACB) /2 = 40 độ
AD là tia phân giác góc CAB => góc CAD= góc DAB= 40 độ/2=20 độ
=> góc CDA= 180 độ -(góc ACD + góc CAD)= 60 độ
Lấy điểm E thuộc AB sao cho AD=AE
=> tam giác DAE cân tại A
=> góc ADE= góc AED=(180 độ - góc DAE)/2= 80 độ
Có góc AED= góc EDB+ góc EBD (góc ngoài tại đỉnh E của tam giác EDB)
=> góc EDB= góc AED- góc DBE= 80 độ - 40 độ = 40 độ
=> góc EDB= góc EBD
=> tam giác DEB cân tại E
=> DE=EB (*)
Lấy điểm G thuộc AB sao cho AC=AG
tam giác ACD = tam giác AGD (c-g-c)
=> CD=DG (**)
và góc ADG= góc ADC= 60 độ
=> góc DGE= góc ADG+ góc DAG = 60 độ + 20 độ =80 độ (góc ngoài tại đỉnh G của tam giác ADG)
=> góc DGE= góc DEG
=> tam giác DEG cân tại D
=> DG=DE (***)
(*),(**),(***) suy ra CD=EB
Có AD+DC=AE+EB=AB (đpcm)