Bạn tự vẽ hình:
a) Nhận thấy KD là đường trung bình ứng với AB của tam giác ABC nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}KD//AH\\KD=AH\left(=\dfrac{1}{2}AB\right)\end{matrix}\right.\) nên HDKA là hình bình hành
Gọi giao điểm của AD và HK là I thì I là trung điểm của AD,HK(1)
E đối xứng với D qua K nên\(\left\{{}\begin{matrix}DE//AB\\DE=2KD=2.\dfrac{1}{2}AB=AB\end{matrix}\right.\)
=> DEAB là hình bình hanh mà I là trung điểm AD
=> I là trung điểm BE (2)
Từ (1) và (2) ta có: AD,HK,BE đông quy tại I (đpcm)
b)Tam giác ABC vuông tại A nên \(AD=\dfrac{1}{2}BC\)
\(\Leftrightarrow AD^2=\dfrac{1}{4}BC^2\)(3)
\(BK^2=AB^2+AK^2=AB^2+\left(\dfrac{1}{2}AC\right)^2=AB^2+\dfrac{1}{4}AC^2\)(4)
\(CH^2=AC^2+AH^2=AC^2+\left(\dfrac{1}{2}AB\right)^2=AC^2+\dfrac{1}{4}AB^2\)(5)
Từ (3),(4),(5) ta có:
\(\dfrac{BC^2}{AD^2+BK^2+CH^2}\)
\(=\dfrac{BC^2}{\left(\dfrac{1}{4}BC^2\right)+\left(AB^2+\dfrac{1}{4}AC^2\right)+\left(AC^2+\dfrac{1}{4}AB^2\right)}\)
\(=\dfrac{BC^2}{\dfrac{5}{4}\left(AB^2+BC^2\right)+\dfrac{1}{4}BC^2}=\dfrac{BC^2}{\dfrac{5}{4}BC^2+\dfrac{1}{4}BC^2}=\dfrac{2}{3}\)
