Question

Cho tam giác ABC.Vẽ đường cao AH.Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,AC,AB.Chứng minh:

a)PN là đường trung trực của AH.

b)Tứ giác HMNP là hình thang cân.

Các bn giúp mk nha,mk cần gấp!!!!!!!!!!!

Answer 1

Lời giải:

Ta có \(P\) là trung điểm của $AB$, $N$ là trung điểm của $AC$ nên

\(AP=PB,AN=NC\Rightarrow \frac{AP}{PB}=\frac{AN}{NC}\)

Do đó theo định lý Tales suy ra \(PN\parallel BC\), mà \(AH\perp BC\Rightarrow PN\perp AH\) \((1)\)

Xét tam giác vuông tại $H$ là $AHB$ có $P$ là trung điểm của $AB$ nên $PA=PH$ . Tương tự, \(AN=NH\)$(2)$

Từ \((1),(2)\Rightarrow \) $PN$ là đường trung trực của $AH$

b) Do \(HM\parallel PN\Rightarrow HMNP\) là hình thang \((1)\)

Sử dụng tính chất so le trong và đồng vị với các đoạn \(PN\parallel BC, NM\parallel AB\) ta có:

\(\widehat{HPN}=\widehat{PHB}=90^0-\widehat{PHA}=90^0-\widehat{PAH}=\widehat{ABH}=\widehat{ABC}\)

\(\widehat{MNP}=\widehat{NMC}=\widehat{ABC}\)

Do đó \(\widehat{HPN}=\widehat{MNP}\) \((2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow HMNP\) là hình thang cân.