§1. Mệnh đề

 Mashiro Shiina

cho tam giác ABC,r là tâm đường tròn nội tiếp,R là tâm đường tròn ngoại tiếp.cmr nếu a^3+b^3+c^3/abc+2r/R=4 thì tam giác ABC đều

Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 11 2020 lúc 16:07

Bài toán khá đơn giản, hầu như là biến đổi thuần túy:

Dựa vào các công thức tính diện tích tam giác:

\(S=\frac{abc}{4R}=\frac{\left(a+b+c\right)r}{2}=\frac{1}{4}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2r=\frac{4S}{a+b+c}\\R=\frac{abc}{4S}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{2r}{R}=\frac{16S^2}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}{abc}\)

Do đó điều kiện bài toán trở thành:

\(\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\frac{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}{abc}=4\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b-2abc}{abc}=4\)

\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b=6abc\)

Mà theo AM-GM:

\(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b\ge6\sqrt[6]{a^6b^6c^6}=6abc\)

Dấu "=" xảy ra nên \(a=b=c\) hay tam giác đều

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Lê Hà Ny
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Huỳnh Như
Xem chi tiết
Đăng Hùng Ngô
Xem chi tiết
thuận Phạm
Xem chi tiết
Ái Nữ
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Yến Hoàng
Xem chi tiết
Nguyễn Hằng Nga
Xem chi tiết
Bình Khánh
Xem chi tiết
Bùi Tấn Sỹ
Xem chi tiết