Cho tam giác ABC,cân tại A,trên đường phân giác ngoài của góc A lấy điểm P,Q ở hai phía của A (P và B ở cùng nửa mp bờ AC ) thỏa mãn AP.AQ=\(AB^2\)
a, C/m :PQ//BC
b, Tam giác APB \(\sim\)Tam giác ACQ
c, Gọi S là giao điểm của PB và QC .C/m tam giác APB đồng dạng với tam giác SPQ.
@Akai Haruma @Mysterious Person @Bùi Thị Vân giúp vs nha
Lời giải:
a) Lấy đường phân giác trong là \(AD\)
Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên phân giác trong của \(\angle BAC\) đồng thời cũng là đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$, do đó \(AD\perp BC(1)\)
Mặt khác ta thấy đường phân giác trong với ngoài thì luôn vuông góc với nhau nên \(PQ\perp AD(2)\)
\((1),(2)\Rightarrow PQ\parallel BC\)
b) Vì \(AB=AC\Rightarrow AP.AQ=AB^2=AB.AC\)
\(\Leftrightarrow \frac{AP}{AB}=\frac{AC}{AQ}\)
Xét hai tam giác $APB$ và $ACQ$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \angle PAB=\angle CAQ(=\frac{180^0-\angle BAC}{2})\\ \frac{AP}{AB}=\frac{AC}{AQ}\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle APB\sim \triangle ACQ(\text{c.g.c})\)
Ta có đpcm.
c) Theo phần b thì \(\triangle APB\sim \triangle ACQ\Rightarrow \angle ABP=\angle AQC=\angle PQS\)
Xét hai tam giác $APB$ và $SPQ$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \text{ chung góc } \angle P\\ \angle PQS=\angle PBA(\text{cmt})\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle SPQ\sim \triangle APB (g.g)\)
Ta có đpcm.
