Question

Cho tam giác ABC vuông tại A tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D từ D kẻ đường thẳng vuông góc với cạnh BC, đường thẳng này cắt AC ở E, cắt BA ở F chứng minh A)Tam giác DEC đồng dạng với tam giác ABC B)BA.BF = BD.BC C)DE = BD D)FE.FD + CE.CA = FC bình phương

Answer 1

a: Xét ΔCDE vuông tại D và ΔCAB vuông tại A có

\(\hat{DCE}\) chung

Do đó: ΔCDE~ΔCAB

b: Xét ΔBDF vuông tại D và ΔBAC vuông tại A có

\(\hat{DBF}\) chung

Do đó: ΔBDF~ΔBAC

=>\(\frac{BD}{BA}=\frac{BF}{BC}\)

=>\(BD\cdot BC=BF\cdot BA\)

c: AD là phân giác của góc BAC
=>\(\hat{BAD}=\hat{CAD}=\hat{\frac{BAC}{2}}=\frac{90^0}{2}=45^0\)

Xét tứ giác ABDE có \(\hat{EAB}+\hat{EDB}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABDE là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{EBD}=\hat{EAD}=45^0\)

Xét ΔEBD vuông tại D có \(\hat{EBD}=45^0\)

nên ΔEBD vuông cân tại D

=>DE=DB

d: Gọi K là giao điểm của BE với CF

Xét ΔCFB có

FD,CA là các đường cao

FD cắt CA tại E

Do đó: E là trực tâm của ΔCFB

=>BE⊥CF tại K

Xét ΔFKE vuông tại K và ΔFDC vuông tại D có

\(\hat{KFE}\) chung

Do đó: ΔFKE~ΔFDC

=>\(\frac{FK}{FD}=\frac{FE}{FC}\)

=>\(FK\cdot FC=FD\cdot FE\)

Xét ΔCKE vuông tại K và ΔCAF vuông tại A có

\(\hat{KCE}\) chung

Do đó: ΔCKE~ΔCAF

=>\(\frac{CK}{CA}=\frac{CE}{CF}\)

=>\(CK\cdot CF=CE\cdot CA\)

\(FE\cdot FD+CE\cdot CA=FK\cdot FC+CK\cdot FC=FC\left(FK+CK\right)=FC^2\)