cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB tại E, đường tròn tâm K đường kính CH cắt AC tại F
a. tứ giác AEHF là hình gì?
b. Chứng minh tứ giác BÈC nội tiếp
c. Chứng minh AE.AB=AF.AC
d. chứng minh EF là tiếp tuyến chung của (O) VÀ (I)
e.gọi Ax là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh Ax//EF
a: Xét (I) có
ΔHEB nội tiếp
HB là đường kính
Do đó: ΔHEB vuông tại E
=>HE\(\perp\)AB tại E
Xét (K) có
ΔCFH nội tiếp
CH là đường kính
Do đó: ΔCFH vuông tại F
=>HF\(\perp\)AC tại F
Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{FAE}=90^0\)
nên AEHF là hình chữ nhật
b: Ta có; AEHF là hình chữ nhật
=>\(\widehat{AFE}=\widehat{AHE}\)
mà \(\widehat{AHE}=\widehat{ABC}\left(=90^0-\widehat{HAE}\right)\)
nên \(\widehat{AFE}=\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{AFE}+\widehat{CFE}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{CFE}+\widehat{CBE}=180^0\)
=>CFEB nội tiếp
c: Xét ΔAFE và ΔABC có
\(\widehat{AFE}=\widehat{ABC}\)
\(\widehat{FAE}\) chung
Do đó: ΔAFE~ΔABC
=>\(\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)
=>\(AF\cdot AC=AE\cdot AB\)
d: Sửa đề: EF là tiếp tuyến chung của (I) và (K)
ΔHEB vuông tại E
mà EI là đường trung tuyến
nen IE=IH
=>ΔIEH cân tại I
=>\(\widehat{IEH}=\widehat{IHE}\)
mà \(\widehat{IHE}=\widehat{ACB}\)(hai góc đồng vị, HE//AC)
nên \(\widehat{IEH}=\widehat{ACB}\)
Ta có: ΔCFH vuông tại F
mà FK là đường trung tuyến
nên KF=KH
=>ΔKFH cân tại K
=>\(\widehat{KFH}=\widehat{KHF}\)
mà \(\widehat{KHF}=\widehat{B}\)(HF//AB)
nên \(\widehat{KFH}=\widehat{B}\)
\(\widehat{KFE}=\widehat{KFH}+\widehat{EFH}=\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)
=>KF\(\perp\)FE tại F
=>FE là tiếp tuyến của (K)
\(\widehat{IEF}=\widehat{IEH}+\widehat{FEH}=\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)
=>FE\(\perp\)EI tại E
=>FE là tiếp tuyến của (I)
