Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH) kẻ tiếp tuyến BD, CE với đường tròn ( D,E là các tiếp điểm khác H) chứng minh:

a/ Ba điểm D, A, E thẳng hàng.

b/ DE tiếp xúc với đường tròn có đường kính BC.

Answer 1

ta có góc DAB=BAH( tính chất 2 tt cn) và HAC=EAC (----------------)\

Mà góc BAH +HAC =90o => DAB+EAC=90o TA có DAB+EAC+BAH+HAC =DAE

          =>90o +90o=DAE hay DAE =180o mặt khác D,A,E thẳng hàng

CÒN phần b thì chưa làm

Answer 2

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

               AB là tia phân giác của góc HAD  

Suy ra: 
ˆ
D
A
B
=
ˆ
B
A
H
DAB^=BAH^

                  AC là tia phân giác của góc HAE

Suy ra: 
ˆ
H
A
C
=
ˆ
C
A
E
HAC^=CAE^

Ta có: 
ˆ
H
A
D
+
ˆ
H
A
E
=
2
(
ˆ
B
A
H
+
ˆ
H
A
C
)
=
2.
ˆ
B
A
C
=
2.90
∘
=
180
∘
HAD^+HAE^=2(BAH^+HAC^)=2.BAC^=2.90∘=180∘

Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng.

b) Gọi M là trung điểm của BC

Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:

A
D
⊥
B
D
;
A
E
⊥
C
E
AD⊥BD;AE⊥CE

Suy ra: BD // CE

Vậy tứ giác BDEC là hình thang

Khi đó MA là đường trung bình của hình thang BDEC

Suy ra: 
M
A
/
/
B
D
⇒
M
A
⊥
D
E
MA//BD⇒MA⊥DE

Trong tam giác vuông ABC ta có: MA = MB = MC

Suy ra M là tâm đường tròn đường kính BC với MA là bán kính

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm M đường kính BC.