Gọi cạnh \(HC=b;AC=a\) như hình vẽ
Xét \(\Delta BAH\left(\widehat{AHB}=90^o\right):\)
\(AB^2=AH^2+HB^2\) (Định lý Py-ta-go)
\(\Rightarrow AB^2=12^2+9^2=225\)
\(\Rightarrow AB=\sqrt{225}=15\)
Xét \(\Delta AHC\left(\widehat{AHC}=90^o\right):\)
\(a^2=AH^2+b^2\) (Định lý Py-ta-go)
\(\Rightarrow a^2=12^2+b^2\left(1\right)\)
Xét \(\Delta ABC\left(\widehat{BAC}=90^o\right):\)
\(\left(9+b\right)^2=AB^2+AC^2\) (Định lý Py-ta-go)
\(\Rightarrow\left(9+b\right)^2=15^2+a^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có \(\left\{\begin{matrix}a^2=12^2+b^2\left(1\right)\\\left(9+b\right)^2=15^2+a^2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow b=16\Rightarrow HC=16\)
Suy ra \(BC=BH+HC=9+16=25\)
\(S_{ABC}=\frac{25\cdot12}{2}=150\left(cm^2\right)\)
Xét BHA và AHC
Có: góc H1 = góc H2 =90
góc A2= góc B ( cùng phụ với góc A1)
tg BHA đồng dạng với tg AHC
=> ta có tỉ lệ \(\frac{AH}{HC}=\frac{BH}{AH}=\frac{AB}{AC}\) = \(\frac{9}{12}\)=\(\frac{3}{4}\)
có \(\frac{S_{BHA}}{S_{AHC}}=k^2=\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}\)
SBHA= \(\frac{AH.BH}{2}\)=\(\frac{12.9}{2}=54\)
mà SAHC = \(\frac{S_{BHA}.16}{9}=\frac{54.16}{9}=96\)
SABC= SBHA + SHAC =54+96 =150
