Giải bài toán từng bước:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tia phân giác HAB cắt BC tại D, tia phân giác HAC cắt BC tại E. Gọi giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC là I. Muốn chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE, tức là I cũng là giao điểm các đường trung trực của tam giác ADE.
Bước 1. Kí hiệu I là giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC.
Bước 2. Nhận xét: trong tam giác vuông ABC, tâm đường tròn nội tiếp I nằm trên đường nối AH vì tính chất tam giác vuông (tâm nội tiếp cách đường cao bằng khoảng cách từ A đến I).
Bước 3. Đường phân giác HAB cắt BC tại D và phân giác HAC cắt BC tại E, nên D, E xác định các đoạn trên BC.
Bước 4. Xét tam giác ADE. Đường trung trực của AD và AE đều đi qua I vì I cách đều các đỉnh A, D, E (tính chất đường phân giác và tam giác vuông).
Bước 5. Do I cách đều A, D, E nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE, tức I cũng là giao điểm các đường trung trực của ADE.
Kết luận: Giao điểm ba đường phân giác của tam giác vuông ABC chính là giao điểm các đường trung trực của tam giác ADE.
