Lời giải:
a)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông $ABH$:
$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$ (cm)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông đối với tam giác $ABC$ vuông có $AH$ là đường cao:
$AH^2=BH.CH\Rightarrow CH=\frac{AH^2}{BH}=\frac{4^2}{2\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$ (cm)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác $AHC$ vuông:
$AC^2=AH^2+CH^2=4^2+(\frac{8\sqrt{5}}{5})^2=\frac{144}{5}$
$\Rightarrow AC=\frac{12}{\sqrt{5}}$ (cm)
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông đối với tam giác $AHB$, đường cao $HD$ và tam giác $AHC$, đường cao $HE$:
$AD.AB=AH^2$
$AE.AC=AH^2$
$\Rightarrow AD.AB=AE.AC$ (đpcm)
c)
Gọi $K$ là giao điểm $AM$ và $DE$
Tam giác $ABC$ vuông có đường trung tuyến $AM$ ứng với cạnh huyền nên $AM=\frac{BC}{2}=BM$
$\Rightarrow \triangle MAB$ cân tại $M$
$\Rightarrow \widehat{KAD}=\widehat{MAB}=\widehat{MBA}=\widehat{HBA}(1)$
Mặt khác, dễ thấy $HDAE$ có 3 góc vuông nên $HDAE$ là hình chữ nhật. Do đó:
$\widehat{ADK}=\widehat{ADE}=\widehat{HAD}=\widehat{HAB}(2)$
$(1);(2)\Rightarrow \widehat{KAD}+\widehat{ADK}=\widehat{HBA}+\widehat{HAB}=90^0$
$\Rightarrow \widehat{DKA}=90^0$
$\Rightarrow AM\perp DE$ (đpcm)
Hình vẽ:
