Question

Cho tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến, AH là đường cao. Trên tia đối của tia AM lấy P (P khác A). Các đường thẳng qua H vuông góc với AB và AC lần lượt cắt đường thẳng PB và PC tại Q và R tương ứng. CM: A là trực tâm tam giác PQR

Answer 1

Gọi E là giao của AC và PB, F là giao của AB và PC

Qua P kẻ đường thẳng d song song với BC

Giả sử E và F lần luợt là giao của AC và AB với d

Ta có: \(\frac{BM}{PF'}=\frac{CM}{PE'}\left(=\frac{AM}{PA}\right)\), mà \(BM=CM\) => PE'=PF'

Do đó \(\frac{PE}{EB}=\frac{PE'}{BC}=\frac{PF'}{BC}=\frac{PF}{FC}\) => EF//BC => \(\frac{EA}{AC}=\frac{FA}{AB}\)

Gọi I là giao của HQ và AB; K là giao của HR và AC

Áp dụng định lý Talet có: \(\frac{QI}{IH}=\frac{EA}{AC}=\frac{FA}{AB}=\frac{RK}{KH}\), do đó: IK//QR (1)

\(\widehat{MAC}=\widehat{AIK}\) nên PM _|_ IK

Từ (1) => PM _|_ QR hay PA _|_ QR

Gọi S là giao RA và PB

\(\frac{HI}{HK}=\frac{HQ}{HR}=\frac{HB}{HA}\Rightarrow\frac{HB}{HQ}=\frac{HA}{HR};\widehat{BHQ}=\widehat{AHR}\)

có tam giác BHQ đồng dạng với tam giác AHE 

=> \(\widehat{QBH}=\widehat{RAH}\) => Tứ giác BHAS nội tiếp

Vậy \(\widehat{ASB\:}=90^o\) hay RS _|_ PQ (2)

Từ (1) (2) => A là trực tâm tam giác PQR