Lời giải:
a)
Xét tam giác $AEH$ và $AHB$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{B}-\text{chung}\\ \widehat{AEH}=\widehat{AHB}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle AEH\sim \triangle AHB(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{AE}{AH}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow AE.AB=AH^2(1)\)
Tương tự:
\(\triangle AFH\sim \triangle AHC(g.g)\Rightarrow \frac{AF}{AH}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AF.AC=AH^2(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow AE.AB=AF.AC\)
Ta có đpcm
b) Gọi $I$ là giao điểm $AM-EF$
Từ kết quả phần a ta suy ra \(\triangle AEF\sim \triangle ACB(c.g.c)\)
\(\Rightarrow \widehat{AEI}=\widehat{AEF}=\widehat{ACB}(3)\)
Vì $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên \(AM=\frac{BC}{2}=BM\Rightarrow \triangle AMB\) cân tại $M$
\(\Rightarrow \widehat{EAI}=\widehat{BAM}=\widehat{ABM}=\widehat{ABC}(4)\)
Từ \((3);(4)\Rightarrow \widehat{AEI}+\widehat{EAI}=\widehat{ACB}+\widehat{ABC}\)
\(\Rightarrow 180^0-(\widehat{AEI}+\widehat{EAI})=180^0-(\widehat{ACB}+\widehat{ABC})\)
\(\Leftrightarrow \widehat{EIA}=\widehat{BAC}=90^0\Rightarrow AM\perp EF\)
Ta có đpcm.
