Question

Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ) Phân giác ABC cắt cạnh AC tại D. Qua B vẽ đường thẳng vuông góc BD cắt tia CA tại E a) Cho AB = 6cm , AC = 8cm . Tính độ dài cạnh BC và AD b) Chứng minh: EC. AD =AE.DC

Answer 1

a: Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{CB}\)

=>\(\dfrac{AD}{6}=\dfrac{CD}{10}\)

=>\(\dfrac{AD}{3}=\dfrac{CD}{5}\)

mà AD+CD=AC=8cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AD}{3}=\dfrac{CD}{5}=\dfrac{AD+CD}{3+5}=\dfrac{8}{8}=1\)

=>\(AD=3\cdot1=3\left(cm\right);CD=5\cdot1=5\left(cm\right)\)

b: Vì BD\(\perp\)BE

và BD là phân giác trong tại B của ΔABC

nên BE là phân giác ngoài tại B của ΔABC

=>\(\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{BA}{BC}\)

mà \(\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{AD}{DC}\)

nên \(\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{AD}{DC}\)

=>\(EA\cdot DC=EC\cdot AD\)