Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường cao AH; gọi O là tâm đường tròn
ngoại tiếp của tam giác. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và tại B cắt nhau tại M. Nối
CM cắt AH tại I. Nối OM cắt AB tại J.
a) Chứng minh các tam giác MOB và CAH đồng dạng.
b) Chứng minh I là trung điểm của AH.
c) Cho BC = 2R và OM = x (R > 0; x > 0). TínhAB, AH theo R và x
a: Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB
=>MO\(\perp\)AB tại J và J là trung điểm của AB
Ta có: MO\(\perp\)AB
AC\(\perp\)AB
Do đó: MO//AC
Xét ΔMOB vuông tại M và ΔHCA vuông tại H có
\(\widehat{MOB}=\widehat{HCA}\)(hai góc đồng vị, OM//AC)
Do đó: ΔMOB~ΔHCA
c: ΔABC vuông tại A có O là tâm đường tròn ngoại tiếp
nên O là trung điểm của BC
=>\(OB=OC=OA=\dfrac{BC}{2}=R\)
ΔOAM vuông tại A
=>\(OA^2+AM^2=OM^2\)
=>\(AM=\sqrt{OM^2-OA^2}=\sqrt{R^2-x^2}\)
Xét ΔAOM vuông tại A có AJ là đường cao
nên \(AJ\cdot OM=AO\cdot AM\)
=>\(AJ=\dfrac{AO\cdot AM}{OM}=\dfrac{R\cdot\sqrt{R^2-x^2}}{x}\)
=>\(AB=2\cdot AJ=\dfrac{2\cdot R\cdot\sqrt{R^2-x^2}}{x}\)
ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(AC^2=\left(2R\right)^2-\left(\dfrac{2R\sqrt{R^2-x^2}}{x}\right)^2=4R^2-\dfrac{4R^2\cdot\left(R^2-x^2\right)}{x^2}\)
=>\(AC^2=\dfrac{4\cdot R^2\cdot x^2-4R^4+4\cdot R^2\cdot x^2}{x^2}=\dfrac{8R^2x^2-4R^4}{x^2}\)
=>\(AC=\sqrt{\dfrac{4R^2\left(2x^2-R^2\right)}{x^2}}=\dfrac{2R\cdot\sqrt{2x^2-R^2}}{x}\)
\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{2R\cdot\dfrac{\sqrt{2x^2-R^2}}{x}\cdot\dfrac{2\cdot R\cdot\sqrt{R^2-x^2}}{x}}{2R}=\dfrac{2R\sqrt{\left(2x^2-R^2\right)\left(R^2-x^2\right)}}{x^2}\)
