Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
THNC Đỗ Bảo Châu

Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH, phân giác AD. Gọi I, J lần lượt là các giao điểm các đường phân giác của tam giác ABH, ACH; E là giao điểm của đường thẳng BI và AJ. Chứng minh rằng: a. Tam giác ABE vuông b. IJ vuông góc với AD

Akai Haruma
30 tháng 3 lúc 23:07

Lời giải:
a.

Có: $\widehat{ABE}=\frac{1}{2}\widehat{ABH}$

$\widehat{BAE}=\widehat{BAH}+\widehat{HAE}=\widehat{BAH}+\frac{1}{2}\widehat{HAC}$

$=\widehat{BAH}+\frac{1}{2}(90^0-\widehat{BAH})=\\widehat{BAH}+\frac{1}{2}\widehat{ABH}$ 

$\Rightarrow \widehat{ABE}+\widehat{BAE}=\widehat{BAH}+\widehat{ABH}=90^0$

$\Rightarrow \widehat{BEA}=180^0-(\widehat{ABE}+\widehat{BAE})=180^0-90^0=90^0$

$\Rightarrow BEA$ là tam giác vuông tại $E$
b.

Từ kết quả phần a suy ra $IE\perp AJ(*)$

Gọi $K$ là giao điểm của $CJ$ và $AI$

Hoàn toàn tương tự phần a, ta suy ra $CKA$ vuông tại $K$

$\Rightarrow JK\perp AI(**)$
Gọi $T$ là giao điểm của $JK$ và $IE$ thì từ $(*)$ và $(**)$ suy ra $T$ là trực tâm tam giác $IAJ$

$\Rightarrow AT\perp IJ(***)$

Mặt khác:
$CK$ là phân giác $\widehat{C}$

$BE$ là phân giác $\widehat{B}$

$CK, BE$ giao nhau tại $T$ nên $T$ là giao các đường phân giác của tam giác $ABC$

$\Rightarrow AT$ là phân giác $\widehat{BAC}$

$\Rightarrow AT\equiv AD$

$\Rightarrow A,T,D$ thẳng hàng $(****)$

Từ $(***)$ và $(****)$ suy ra $AD\perp IJ$ (đpcm)

Akai Haruma
30 tháng 3 lúc 23:08

Hình vẽ:

a: Ta có: J là tâm đường tròn nội tiếp ΔAHC

=>AJ là phân giác của góc HAC

=>\(\widehat{CAJ}=\dfrac{\widehat{CAH}}{2}\left(1\right)\)

Ta có: I là tâm đường tròn nội tiếp ΔAHB

=>BI là phân giác của góc ABH

=>\(\widehat{ABI}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{ABC}\left(2\right)\)

Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)

\(\widehat{HAC}+\widehat{ACB}=90^0\)

Do đó: \(\widehat{ABC}=\widehat{HAC}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{CAJ}=\widehat{EBA}\)

mà \(\widehat{CAJ}+\widehat{EAB}=\widehat{CAB}=90^0\)

nên \(\widehat{EBA}+\widehat{EAB}=90^0\)

=>ΔEAB vuông tại E

 


Các câu hỏi tương tự
Trần gia linh
Xem chi tiết
Nguyễn Tú Hà
Xem chi tiết
laithithuylinh
Xem chi tiết
Cát Thảo Ngân
Xem chi tiết
nhoksúppơ tínhtìnhngâyth...
Xem chi tiết
nguyễn nam dũng
Xem chi tiết
Ngọc Hiền
Xem chi tiết
nguyễn ngọc gia bảo
Xem chi tiết
Nguyen tuan quan
Xem chi tiết
Vuc Thàn Phát
Xem chi tiết