Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của
điểm H trên AB và AC. Biết BH = 4 cm, HC = 9 cm.
1) Tính độ dài đoạn DE
2) CMR: AD. AB = AE.AC
3) Các đường vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh rằng M là trung điểm của BH, N là trung điểm của CH
4) Tính chu vi và diện tích của tứ giác DENM
1: Xét ΔACB vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH^2=HB\cdot HC=4\cdot9=36\)
=>AH=6(cm)
Xét tứ giác ADHE có
\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)
nên ADHE là hình chữ nhật
=>DE=AH=6(cm)
2: Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao
nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)
3: Ta có: ADHE là hình chữ nhật
=>\(\widehat{EDH}=\widehat{EAH};\widehat{AHE}=\widehat{ADE};\widehat{DEH}=\widehat{DAH}\)
\(\widehat{EDM}=\widehat{EDH}+\widehat{MDH}\)
=>\(\widehat{MDH}+\widehat{EAH}=90^0\)
mà \(\widehat{EAH}+\widehat{HCA}=90^0\)(ΔHAC vuông tại H)
nên \(\widehat{MDH}=\widehat{HCA}\)
=>\(\widehat{MDH}=\widehat{MHD}\)
=>MH=MD
Ta có: \(\widehat{MHD}+\widehat{MBD}=90^0\)(ΔHDB vuông tại D)
\(\widehat{MDH}+\widehat{MDB}=\widehat{HDB}=90^0\)
mà \(\widehat{MHD}=\widehat{MDH}\)
nên \(\widehat{MBD}=\widehat{MDB}\)
=>MB=MD
=>MB=MH
=>M là trung điểm của BH
Ta có: \(\widehat{NED}=\widehat{NEH}+\widehat{DEH}\)
=>\(\widehat{NEH}+\widehat{DAH}=90^0\)
mà \(\widehat{DAH}+\widehat{HBA}=90^0\)(ΔHBA vuông tại H)
nên \(\widehat{NEH}=\widehat{NHE}\)
=>NH=NE
Ta có: \(\widehat{NEH}+\widehat{NEC}=\widehat{CEH}=90^0\)
\(\widehat{NHE}+\widehat{NCE}=90^0\)(ΔCEH vuông tại E)
mà \(\widehat{NEH}=\widehat{NHE}\)
nên \(\widehat{NEC}=\widehat{NCE}\)
=>NC=NE
=>NC=NH
=>N là trung điểm của CH
