Question

Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Cho AC = 5 cm, CH = 4 cm.

a, Tính \(S_{ABC}=?\)

b, P và Q là trung điểm của AH và CH. M là giao điểm AQ và BP. Chứng minh \(AQ\perp BP\) và \(AH^2=4PM.PB\)

Answer 1

a) dễ

b)xét △ AHC có Q là trung điểm của CH và P là trung điểm của AH nên PQ là đường trung bình của △AHC nên PQ//AC

mà AC ⊥ AB; AC//PQ ⇒ PQ ⊥ AB

xét △ AQB có AH ⊥ BQ; PQ ⊥ AB ; P là giao điểm của AH và PQ nên p là trực tâm của △ AQB

⇒ BP ⊥ AQ

xét △AMP và △BHP có \(\widehat{M}=\widehat{H}=90^0;\widehat{MPA}=\widehat{HPB}\) (đối đỉnh)

⇒ △AMP∼△BHP(g-g)

⇒ \(\frac{HP}{MP}=\frac{PB}{AP}\) ⇒ HP.AP = PM.PB

mà HP = AP = \(\frac{AH}{2}\) ⇒ HP² = PM.PB

⇔ 4HP² = 4.PM.PB

⇔(2HP)²=4.PM.PB

mà 2HP = AH

⇒ AH²=4.PM.PB (đpcm)

Answer 2

tự vẽ hình nha

c) xét △BCN có

BA ⊥ NC; NH ⊥ BC; M là giao điểm của BA và NH

⇒ M là trực tâm của tam giác BNC ⇒ CK ⊥ BN

⇒ △BKM ∼ △BAN(g-g)

⇒ \(\frac{BK}{BA}=\frac{BM}{BN}\Rightarrow\frac{BK}{BM}=\frac{BA}{BN}\)(1)

xét △ BKA và △ BMN có

(1); \(\widehat{B}\) chung

⇒ △ BKA ∼ △BMN(c-g-c)

⇒ \(\widehat{BNM}=\widehat{BAK}\)

mà \(\widehat{BNM}=\widehat{BAH}\) ( từ câu b)

⇒ \(\widehat{BAH}=\widehat{BAK}\)

hay BA là phân giác của \(\widehat{KAH}\)

d) từ câu a) ta có :

BM.BA = BH.BC (2)

ta có △ CMH ~ △CBK (g-g)

⇒ \(\frac{CM}{CB}=\frac{CH}{CK}\) ⇒ CM.CK = CB.CH (3)

lấy (2) + (3) ta được :

BM.BA + CM.CK = BH.BC + BC.CH

⇔ BM.BA+CM.CK = BC.(BH + HC) = BC²

vì BC không đổi nên BM.BA + CM.CK không đổi

vậy khi M chạy trên AB thì BM.BA + CM.CK không đổi

Answer 3

c) gọi O là giao của H và AD ta có

\(\widehat{DAC}=\widehat{ABC}\) (câu a)

do OH = OA ( tính chất đường chéo trong hình chữ nhật)

nên △OHA cân tại O nên \(\widehat{OHA}=\widehat{HAO}=\widehat{ABC}\) (1)

⇒ △AEH ~ △ACB (g - g)

d) gọi K là giao điểm của HE và AI

xét △ ABC có

\(\widehat{A}=90^0\); AI là trung tuyến

⇒ AI = CI ⇒△AIC cân tại I ⇒ \(\widehat{ICA}=\widehat{IAC}\) (2)

từ (1) và (2) ⇒ △HAK ~ △ BCA (g - g)

⇒ \(\widehat{K}=90^0\) hay AI ⊥ HE