Question

Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc C = 30⁰ , AH ⊥ BC (H∈BC). Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD = HB. Từ C kẻ CE ⊥AD. Chứng minh :

a)Tam giác ABD là tam giác đều .

b) AH = CE.

c) EH // AC .

Answer 1

a) Xét \(\Delta AHB\) có \(\widehat{AHB}=90^o\)

Xét \(\Delta AHD\) có : \(\widehat{AHD}=90^o\)

\(\Rightarrow AH\perp BC\)

Xét \(\Delta AHB\) và\(\Delta AHD\) có:

AH chung; HD = HB ; \(\widehat{AHB}=\)\(\widehat{AHD}=90^o\)

Do đó: \(\Delta AHB\) = \(\Delta AHD\)

⇒ AB = AD

⇒ \(\Delta ABD\) cân tại A (1)

Mặt khác \(\Delta ABC\)có: ( \(\widehat{BAC}=90^o\)) có : \(\widehat{BCA}=30^o\)\(\Rightarrow\widehat{ABC}=60^o\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Delta ABD\) là tam giác đều.

b) Vì \(\Delta ABD\) là tam giác đều.

\(\Rightarrow\widehat{BAD}=60^o;\widehat{EAC}=90^o-60^o=30^o\)

Xét \(\Delta AHC\) và\(\Delta CEA\) có :

AC cạnh huyền chung

\(\widehat{EAC}=\widehat{HAC}=30^o\)

\(\widehat{AHC}=\widehat{CEA}=90^o\)

=>\(\Delta AHC\) = \(\Delta CEA\)( cạnh huyền – góc nhọn)

⇒AH = CE => DE = DH \(\Rightarrow\Delta HDE\) cân

c) Có \(\widehat{HCA}=\widehat{DAC}=30^o\)

=> \(\Delta DAC\) cân tại D => DA=DC

Mà: HC = EA

Xét \(\Delta\) DAC và \(\Delta\) DEH có :(cân )

\(\widehat{ADC}=\widehat{EDC}\) ⇒ \(\widehat{DEH}=\widehat{EAC}\)

Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong ⇒ HE//AC

Answer 2

a) Xét tam giác ABD ta có: \(HB=HD\Rightarrow AH\) là đường trung tuyến tam giác ABD

\(AH\perp BD\Rightarrow AH\) là đường cao tam giác ABD

\(\Rightarrow ABD\) cân ( đường trung tuyến là đường cao)

Mà \(\widehat{B}=60^o\) (do \(\widehat{A}=90^o;\widehat{C}=30^o\))

\(\Rightarrow\Delta ABD\) đều

b) \(\Delta ABD\) đều \(\Rightarrow\widehat{DAB}=60^o\) mà \(\widehat{BAC}=90^o\Rightarrow\widehat{CAD}=30^o\)

Xét tam giác vuông \(CEA\) và tam giác vuông \(AHC\) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AC-chung\\\widehat{CAE}=\widehat{HCA}=30^o\left(gt\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta CEA=\Delta HCA\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow AH=CE\)