Question

Cho tam giác ABC vuông góc tại A. Đường cao AH. Kẻ HD vuông góc AB, HE vuông góc với AC

a, Chứng minh AD.AB=AE.AC

b, Chứng minh góc ADE = góc ACB

c, AB^2/AC^2= HB/HC

Answer 1

a) Xét \(\Delta\)AHB vuông tại H có đường cao HD có:

\(AH^2=AD\cdot AB\) (HTL) (1)

Xét \(\Delta\)AHC vuông tại H có đường cao HE có:

\(AH^2=AE\cdot AC\) (HTL) (2)

Từ (1)(2) \(\Rightarrow AD\cdot AB=AE\cdot AC\)  (đpcm)

b) Ta có: \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\) (theo a)

\(\rightarrow\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AC}{AB}\)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ACB\) có:

\(\widehat{A}\) chung

\(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AC}{AB}\)

\(\rightarrow\Delta ADE\sim\Delta ACB\left(cgc\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{ACB}\) (đpcm)

c) Xét \(\Delta\)ABC vuông tại A đường cao AH có:

\(AB^2=HB\cdot BC\) (HTL)

\(AC^2=HC\cdot BC\) (HTL)

\(\Rightarrow\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{HB\cdot BC}{HC\cdot BC}=\dfrac{HB}{HC}\) (đpcm)