a.
Đường thẳng BC nhận \(\left(1;-1\right)\) là 1 vtpt
AH vuông góc BC nên AH nhận \(\left(1;1\right)\) là 1 vtpt
Phương trình AH:
\(1\left(x+1\right)+1\left(y+2\right)=0\Leftrightarrow x+y+3=0\)
b.
H là giao điểm AH và BC nên tọa độ là nghiệm:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-y+4=0\\x+y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(-\dfrac{7}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)
Gọi N là trung điểm AH \(\Rightarrow N\left(-\dfrac{9}{4};-\dfrac{3}{4}\right)\)
Đường trung bình song song BC đi qua N và nhận \(\left(1;-1\right)\) là 1 vtpt
Phương trình:
\(1\left(x+\dfrac{9}{4}\right)-1\left(y+\dfrac{3}{4}\right)=0\Leftrightarrow x-y+\dfrac{3}{2}=0\)
c.
Do M thuộc BC nên tọa độ có dạng: \(M\left(m;m+4\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\left(m+1;m+6\right)\)
\(\Rightarrow AM=\sqrt{\left(m+1\right)^2+\left(m+6\right)^2}=\sqrt{2m^2+14m+37}\)
Do \(AM=\sqrt{37}\Rightarrow\sqrt{2m^2+14m+37}=\sqrt{37}\)
\(\Rightarrow2m^2+14m=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(0;4\right)\\M\left(-7;-3\right)\end{matrix}\right.\)
