Question

Cho tam giác ABC, vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB ở D và cắt AC ở E. Qua C kẻ tia Cx song song với AB cắt đường thẳng DE ở G. Chứng minh rằng:
1) tam giác ABC đồng dạng với tam giác CGE
2) DA.EG = DB.DE
3) Gọi H là giao điểm của AC và BG. Chứng minh: HC^2 = HE.HA
4) Qua H kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại I. Chứng minh: 1/IH = 1/BA + 1/CG

Answer 1

3: Xét ΔHAB và ΔHCG có

\(\widehat{HAB}=\widehat{HCG}\)(hai góc so le trong, AB//CG)

\(\widehat{AHB}=\widehat{CHG}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHAB~ΔHCG

=>\(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HG}\left(10\right)\)

Xét ΔHEG và ΔHCB có

\(\widehat{HEG}=\widehat{HCB}\)(hai góc so le trong, EG//BC)

\(\widehat{EHG}=\widehat{CHB}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHEG~ΔHCB

=>\(\dfrac{HB}{HG}=\dfrac{HC}{HE}\left(11\right)\)

Từ (10) và (11) suy ra \(\dfrac{HC}{HE}=\dfrac{HA}{HC}\)

=>\(HC^2=HE\cdot HA\)

4: Xét ΔCAB có IH//AB

nên \(\dfrac{IH}{AB}=\dfrac{CI}{CB}\)

Xét ΔBGC có IH//GC

nên \(\dfrac{IH}{GC}=\dfrac{BI}{BC}\)

=>\(1-\dfrac{IH}{GC}=1-\dfrac{BI}{BC}=\dfrac{CI}{BC}\)

=>\(1-\dfrac{IH}{GC}=\dfrac{IH}{BA}\)

=>\(\dfrac{IH}{BA}+\dfrac{IH}{GC}=1\)

=>\(\dfrac{1}{BA}+\dfrac{1}{GC}=\dfrac{1}{IH}\)