Gọi T, M lần lượt là giao điểm của BD với EF, AC.
Ta có: \(\dfrac{TB}{TD}=\dfrac{S_{ETD}}{S_{FTD}}=\dfrac{S_{ETB}}{S_{FTB}}=\dfrac{S_{ETD}+S_{ETB}}{S_{FTD}+S_{FTB}}=\dfrac{S_{DEF}}{S_{BEF}}\).
Tương tự, \(\dfrac{MB}{MD}=\dfrac{S_{DAC}}{S_{ABC}}\).
Do đó ta phải chứng minh: \(\dfrac{TB}{TD}=\dfrac{MB}{MD}\).
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ADB với sự thẳng hàng của E, T, F:
\(\dfrac{TD}{TB}.\dfrac{EB}{EA}.\dfrac{FA}{FD}=1\). (1)
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác EBD với sự thẳng hàng của A, M, C:
\(\dfrac{MB}{MD}.\dfrac{CD}{CE}.\dfrac{AE}{AB}=1\). (2)
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AED với sự thẳng hàng của B, F, C:
\(\dfrac{BA}{BE}.\dfrac{CE}{CD}.\dfrac{FD}{FA}=1\). (3)
Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta có \(\dfrac{TD}{TB}.\dfrac{MB}{MD}=1\Leftrightarrow\dfrac{MB}{MD}=\dfrac{TB}{TD}\).
Từ đó ta có đpcm.
