Question

Cho tam giác ABC, phân giác AD, trung tuyến AM. Qua điểm I thuộc đoạn thẳng AD, kẻ IH vuông góc với AB, IK vuông góc với AC. Gọi N là giao điểm của HK và AM. Chứng minh rằng NI vuông góc với BC

Answer 1

Qua N kẻ đường thẳng EF song song với BC (\(E\in AB,F\in AC\)), qua E kẻ đường thẳng song song với HK cắt AC tại G

Có: EF // BC (theo cách chọn hình phụ) nên theo định lý Thales, ta có: \(\frac{EN}{BM}=\frac{AN}{AM}=\frac{NF}{MC}\)

Mà BM = MC (do AM là trung tuyến) nên NE = NF

\(\Delta\)EFG có NK // EG (theo cách chọn hình phụ), N là trung điểm của EF (cmt) nên K là trung điểm của GF hay GK = KF (*)

Xét\(\Delta\)AHI và \(\Delta\)AKI có: ^AHI = ^AKI = 90⁰ (gt); AI là cạnh chung; ^HAI = ^KAI (gt) nên \(\Delta\)AHI = \(\Delta\)AKI (ch - gn)

=> AH = AK (hai cạnh tương ứng)  hay \(\Delta\)AHK cân tại A lại có EG // HK nên \(\Delta\)AEG cũng cân tại A => AE = AG

=> AH - AE = AK - AG => HE = GK = KF (theo (*))

Xét \(\Delta\)IHE và \(\Delta\)IKF có: IH = IK (tính chất của điểm thuộc tia phân giác); ^IHE = ^IKF ( = 90⁰); HE = KF (cmt) => \(\Delta\)IHE = \(\Delta\)IKF (c.g.c) => IE = IF (hai cạnh tương ứng) do đó \(\Delta\)IEF cân tại I có IN là trung tuyến nên cũng là đường cao

Ta có: NI\(\perp\)EF và EF // BC (theo cách vẽ hình phụ) nên NI \(\perp\)BC (đpcm)