Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có ba đường cao AD ,BE ,CF cắt nhau tại H. Gọi T là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF và đường tròn(O) ,M là trung điểm của đoạn BC. Đường thẳng EF cắt BC tại L. a) Chứng minh ba điểmT H M thẳng hàng. b) Chứng minh các tứ giácTLBF vàTLCE nội tiếp đường tròn. c) Chứng minh H là trực tâm của tam giác ALM.
Vì $BE \perp AC,\ CF \perp AB$ nên:
$\widehat{AEH} = \widehat{AFH} = 90^\circ$
$\Rightarrow A, E, F, H$ cùng thuộc một đường tròn
=> đường tròn $(AEF)$ đi qua $H$
Gọi $T$ là giao điểm thứ hai của $(AEF)$ với $(O)$
Theo tính chất quen thuộc: $M$ là trung điểm của $BC$ ⇒ $M$ là trung điểm của $HT$
$\Rightarrow T, H, M$ thẳng hàng
b)Vì $EF \perp AH$ nên:
$\widehat{ELH} = \widehat{FLH} = 90^\circ$
=> $\widehat{TFB} = \widehat{TLB}$
$\Rightarrow T, L, B, F$ cùng thuộc một đường tròn
$\Rightarrow TLBF$ nội tiếp
Tương tự: $\widehat{TEC} = \widehat{TLC}$
$\Rightarrow T, L, C, E$ cùng thuộc một đường tròn
$\Rightarrow TLCE$ nội tiếp
c)Ta có: $HM \perp BC,\ L \in BC \Rightarrow HM \perp AL$
Mặt khác: Từ (b) suy ra các góc vuông ⇒ $HL \perp AM$
Vậy $H$ là giao điểm hai đường cao của tam giác $ALM$
$\Rightarrow H$ là trực tâm tam giác $ALM$
