- Bổ đề (1): Cho ΔABC, D,E,F là 3 điểm lần lượt nằm trên cạnh BC,CA,AB sao cho AD,BE,CF đồng quy tại H. Khi đó ta có:
\(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=1\)
*Chứng minh:
\(\dfrac{HD}{AD}=\dfrac{S_{BHD}}{S_{ABD}}=\dfrac{S_{CHD}}{S_{ACD}}=\dfrac{S_{BHD}+S_{CHD}}{S_{ABD}+S_{ACD}}=\dfrac{S_{BHC}}{S_{ABC}}\)
- Tương tự:
\(\dfrac{HE}{BE}=\dfrac{S_{CHA}}{S_{ABC}};\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{S_{BHC}+S_{CHA}+S_{AHB}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\left(đpcm\right)\)
- Bổ đề 2: Cho ΔABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp. AD, BE,CF lần lượt là các đường cao và H là trực tâm ΔABC. M,N,K là giao của AD,BE,CF với \(\left(O\right)\). Khi đó ta có:
\(HD=MD;HE=NE;HF=KF\)
*Chứng minh:
Dựng đường kính AP của \(\left(O\right)\).
- ΔACP, ΔABP, ΔAMP nội tiếp đường tròn đường kính AP.
\(\Rightarrow AB\perp BP\) tại B, \(AC\perp CP\) tại C, \(AM\perp MP\) tại M
Mà \(AB\perp CH\), \(AC\perp BH\), \(AM\perp BC\)
\(\Rightarrow\)CH//BP,BH//CP,BC//MP nên BHCP là hình bình hành.
HP cắt BC tại I \(\Rightarrow\)I là trung điểm HP.
Mà ID//MP \(\Rightarrow\)D là trung điểm HM.
\(\Rightarrow HD=MD\).
CMTT: \(HE=NE;HF=KF\)
- Quay lại bài toán. Gọi H là trực tâm của ΔABC. Ta có:
\(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CK}{CF}=1+\dfrac{DM}{AD}+1+\dfrac{NE}{BE}+1+\dfrac{KF}{CF}=3+\left(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}\right)=3+1=4\left(đpcm\right)\)
