Cho tam giác abc nhọn đường cao ah gọi d và e là hình chiếu vuông góc của h trên ab , ac lấy điểm p sao cho d kaf trung điểm lh lấy điểm q sao cho e là trung điểm hq a) chứng minh ap =aq b) chứng minh paq = 2bac c) gọi i , k là giao điểm của pq với ab,ac chứng minh ha là tia phân giác góc ihk d) ba đường thẳng ah , bk , ci đồng quy Cho mik xin hình và lời giải chi tiết ạ
a:
Sửa đề: D là trung điểm của HP
Xét ΔAHP có
AD là đường cao
AD là đường trung tuyến
Do đó: ΔAHP cân tại A
=>AH=AP
Xét ΔAHQ có
AE là đường cao
AE là đường trung tuyến
Do đó: ΔAHQ cân tại A
=>AH=AQ
mà AH=AP
nên AP=AQ
=>ΔAPQ cân tại A
b: ta có: ΔAHP cân tại A
mà AB là đường cao
nên AB là phân giác của góc HAP
=>\(\widehat{HAP}=2\cdot\widehat{HAB}\)
Ta có: ΔAHQ cân tại A
mà AC là đường cao
nên AC là đường phân giác của góc HAQ
=>\(\widehat{HAQ}=2\cdot\widehat{HAC}\)
Ta có: \(\widehat{HAP}+\widehat{HAQ}=\widehat{PAQ}\)
=>\(\widehat{PAQ}=2\cdot\left(\widehat{BAH}+\widehat{CAH}\right)\)
=>\(\widehat{PAQ}=2\cdot\widehat{BAC}\)
c: Xét ΔAPI và ΔAHI có
AP=AH
\(\widehat{PAI}=\widehat{HAI}\)
AI chung
Do đó: ΔAPI=ΔAHI
=>\(\widehat{API}=\widehat{AHI}\)
=>\(\widehat{APQ}=\widehat{AHI}\)(1)
Xét ΔAHK và ΔAQK có
AH=AQ
\(\widehat{HAK}=\widehat{QAK}\)
AK chung
Do đó: ΔAHK=ΔAQK
=>\(\widehat{AHK}=\widehat{AQK}\)
=>\(\widehat{AHK}=\widehat{AQP}\left(2\right)\)
Ta có: AP=AQ
=>ΔAPQ cân tại A
=>\(\widehat{APQ}=\widehat{AQP}\left(3\right)\)
Từ (1), (2),(3) suy ra \(\widehat{AHI}=\widehat{AHK}\)
=>HA là phân giác của góc IHK