a: Xét (O) có
ΔBMC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBMC vuông tại M
Xét (O) có
ΔBNC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó:ΔBNC vuông tại N
b: Xét ΔABC có
BM là đường cao
CN là đường cao
BM cắt CN tại H
Do đó: H là trực tâm
=>AH vuông góc với BC
c, - Gọi O là tâm của đg tròn đg kính BC.
- Tiếp tuyến tại N cắt AH tại E \(\Rightarrow ON\perp NE\) tại N.
- AH cắt BC tại D \(\Rightarrow AH\perp BC\) tại D.
- Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ONC}+\widehat{ENH}=90^0\\\widehat{ONC}+\widehat{ONB}=90^0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\widehat{ENH}=\widehat{ONB}\left(1\right)\).
- \(\Delta BNC\) vuông tại N có: NO là trung tuyến.
\(\Rightarrow NO=BO=\dfrac{BC}{2}\)
\(\Rightarrow\Delta OBN\) cân tại N.
\(\Rightarrow\widehat{OBN}=\widehat{ONB}\left(2\right)\).
- Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{EHN}+\widehat{BAD}=90^0\\\widehat{OBN}+\widehat{BAD}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow\widehat{EHN}=\widehat{OBN}\left(3\right)\)
- Từ (1), (2), (3) suy ra: \(\widehat{EHN}=\widehat{ENH}\)
\(\Rightarrow\Delta EHN\) cân tại E.
\(\Rightarrow EH=EN\).
\(\widehat{EHN}=\widehat{ENH}\Rightarrow90^0-\widehat{NAE}=90^0-\widehat{ANE}\Rightarrow\widehat{NAE}=\widehat{ANE}\)
\(\Rightarrow\Delta ANE\) cân tại E.
\(\Rightarrow EA=EN\Rightarrow EH=EA\)
\(\Rightarrow\)E là trung điểm AH (đpcm).
