Question

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA' , BB' , CC' và H là trực tâm .

CM : \(\frac{HB.HC}{AB.AC}+\frac{HA.HB}{BC.AC}+\frac{HC.HA}{BC.AB}=1\)

Answer 1

Ta có hình vẽ :

Xét tam giác BHC' và tam giác BAB' có : Góc B chung

Góc BC'H = góc BB'A ( = 90 độ )

=> Tam giác BHC' \(\sim\) Tam giác BAB' ( g.g )

=> \(\frac{HB}{AB}=\frac{BC'}{BB'}\)

\(\Rightarrow\frac{HB.HC}{AB.AC}=\frac{BC'.HC}{BB'.AC}=\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}\) ( 1 )

Tương tự : \(\frac{HA.HB}{BC.AC}=\frac{HA.A'B}{BC.AA'}=\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)

\(\frac{HC.HA}{BC.AB}=\frac{HC.AC'}{AB.CC'}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) => ĐPCM