a) Sửa đề: Chứng minh ΔABC∼ΔDEC
Xét ΔCDA vuông tại D và ΔCEB vuông tại E có
\(\widehat{BCA}\) chung
Do đó: ΔCDA∼ΔCEB(góc nhọn)
⇒\(\frac{CD}{CE}=\frac{CA}{CB}\)
⇒\(\frac{CA}{CB}=\frac{CD}{CE}\)
⇒\(\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{EC}\)
Xét ΔABC và ΔDEC có
\(\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{EC}\)(cmt)
\(\widehat{ACB}\) chung
Do đó: ΔABC∼ΔDEC(c-g-c)
b) Gọi K là giao điểm của CH và AB
Xét ΔABC có
AD là đường cao ứng với cạnh BC(gt)
BE là đường cao ứng với cạnh AC(gt)
AD\(\cap\)BE={H}
Do đó: H là trực tâm của ΔABC(tính chất ba đường cao của tam giác)
⇒CH⊥AB
hay CK⊥AB
Xét ΔABD vuông tại D và ΔAHK vuông tại K có
\(\widehat{HAK}\) chung
Do đó: ΔABD∼ΔAHK(góc nhọn)
⇒\(\frac{AB}{AH}=\frac{AD}{AK}\)
hay \(AH\cdot AD=AB\cdot AK\)
Xét ΔBHK vuông tại K và ΔBAE vuông tại E có
\(\widehat{EBA}\) chung
Do đó: ΔBHK∼ΔBAE(góc nhọn)
⇒\(\frac{BH}{BA}=\frac{BK}{BE}\)
hay \(BH\cdot BE=BA\cdot BK\)
Ta có: \(AH\cdot AD+BH\cdot BE=AK\cdot AB+AB\cdot BK\)
\(=AB\left(AK+BK\right)=AB\cdot AB=AB^2\)(đpcm)
