cho tam giác ABC nhọn (AB>AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao BD,CE cắt nhau tại H. Gọi M,N thứ tự là trung tâm của các cạnh AB,AC.
a) Chứng minh tứ giác OMAN nội tiếp.
b) Chứng minh AD.AN=AE.AN
c) Đường thẳng MN cắt các đường thẳng DE,AO lần lượt tại K và F; AH cắt DE tại I. Chứng minh FI vuông góc với AK. em đang cần gấp ạ. và vẽ hình ra nữa ạ
a: ΔOAB cân tại O
mà OM là đường trung tuyến
nên OM\(\perp\)AB tại M
ta có;ΔOAC cân tại O
mà ON là đường trung tuyến
nên ON\(\perp\)AC tại N
Xét tứ giác AMON có \(\widehat{OMA}+\widehat{ONA}=90^0+90^0=180^0\)
nên AMON là tứ giác nội tiếp
b: Ta có: AMON là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{AMN}=\widehat{AON}=90^0-\widehat{OAN}\)
=>\(\widehat{AMN}=\dfrac{180^0-2\cdot\widehat{OAC}}{2}=\dfrac{\widehat{AOC}}{2}=\widehat{ABC}\)
Xét tứ giác BEDC có \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)
nên BEDC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{EDC}+\widehat{EBC}=180^0\)
mà \(\widehat{EDC}+\widehat{ADE}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\)
=>\(\widehat{AMN}=\widehat{ADE}\)
Xét ΔAMN và ΔADE có
\(\widehat{AMN}=\widehat{ADE}\)
\(\widehat{MAN}\) chung
Do đó: ΔAMN~ΔADE
=>\(\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{AN}{AE}\)
=>\(AM\cdot AE=AN\cdot AD\)
