Question

cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O;R) . Kẻ các đường cao AD.BE của tam giác ABC . Kẻ đường kính Ak của đường tròn nội tâm O . Gọi F là hình chiếu của điểm B trên AK. Chứng minh AB . AC = AK . AD và DF || BE

Answer 1

Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó:ΔACK vuông tại C

Xét (O) có

\(\widehat{ABC};\widehat{AKC}\) lần lượt là góc nội tiếp chắn cung AC

=>\(\widehat{ABC}=\widehat{AKC}\)

Xét ΔADB vuông tại D vàΔACK vuông tại C có

\(\widehat{ABD}=\widehat{AKC}\)

Do đó: ΔADB~ΔACK

=>\(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AB}{AK}\)

=>\(AD\cdot AK=AB\cdot AC\)

Xét tứ giác ABDF có \(\widehat{ADB}=\widehat{AFB}=90^0\)

nên ABDF là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{CDF}=\widehat{FAB}\left(=180^0-\widehat{FDB}\right)\)

=>\(\widehat{CDF}=\widehat{KAB}\)

=>\(\widehat{CDF}=90^0-\widehat{AKB}=90^0-\widehat{ACB}=\widehat{EBC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên DF//BE